长沙麓山国际实验学校   高泽峰

    解析几何一直是高中数学的难点之一，它似乎给了你很多信息，可当你走近一看，又好像无从下手。那么怎样才能破除阻碍，有效提高解析几何的解题能力呢？我认为只要掌握了正确的方法，加之以不懈的努力，拿下解析几何不在话下。这里跟大家说说我的心得。

    抓住基础，数形结合。“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”这是我国著名数学家华罗庚的一句话，他告诉了我们“数”和“形”各自的特点和不足，强调了“数形结合”的重要性。在解析几何的学习过程中，我们更要注意运用数形结合的解题方法。比如题目只给出圆锥曲线的一部分时，常规的方程形式解答就显得非常繁琐，要是我们能够从图形入手，在几个关键位置切入，则可极大地简化计算。又如对于在第一、三象限中的椭圆，求某一斜率下与它相切的所有直线的纵截距，利用数形结合的方法，就可避开繁琐的讨论和计算，直接找出相切直线。因此，在平时的学习中我们要培养自己的几何思维能力，多尝试将解析几何与平面几何建立起某种联系，充分利用平面几何中的一些结论和技巧来协助我们解题。

    事实上，当熟练掌握到数形结合方法，能够举一反三时，遇到的所有题目都将是同一题目了。因此，掌握数形结合必须厘清下列关系：第一点，复数、三角函数等以几何条件和几何元素为背景建立的概念；第二点，题目所给的等式或代数方程式的结构中所含明显的几何意义；第三点，函数与图象的对应关系；第四点，曲线与方程的对应关系；第五点，实数与数轴上的点的对应关系。

    条件的转化也很重要。在解析几何中，很多同学出现失误都是因为不能读懂题，不能将题目所给条件顺利转化。对于解题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。

    我总结了几条解析几何中的条件转化机制。第一是垂直条件的转化。解析几何中常常有垂直问题的出现，其代数化最典型的方向便是“以弦AB为直径的圆过定点”，还有就是转化为向量积等于零，等等。第二是韦达定理的转化。几乎所有的解析几何问题都运用了韦达定理及根的关系，在此不再赘述。第三是向量条件的转化。解析几何中，除了上文提到的垂直条件，还有平行、相交以及长度关系，比如向量的共线以及表达式的倍数关系转化成平行条件，进而减少设定的变量。第四是长度条件的转化。我们要善于将题中的一些长度转化成方便使用的几何条件，比如平方和的关系、勾股定理、三角形角度的判断、长度相等与平行的过渡，等等。特殊点的利用和选取也是很重要的一个方面。例如，利用原点是长轴和短轴的中点可推出很多几何关系及常量；直线的定点、椭圆和双曲线的顶点及焦点都是含有大量有用信息的特殊点，圆锥曲线的定义以及长短半轴的长度关系都是通过焦点和焦点弦表示出来的。这些转化都能够很好地帮助我们理解题意，提高解题速度和准确度，大家在平时复习时应多加注意，及时总结归纳一些常用的转化技巧，这样在考场上才能应对自如。

    解析几何题的另一个考查重点就是考生的基本运算能力，这也是很多同学普遍反映较难的地方。为此，我们有必要在平常的解题过程中，积累一些常用技巧，如假分式的分离技巧、对称替代的技巧、构造对称式用韦达定理代入的技巧、构造均值不等式的变形技巧等，以便提升解题速度。另外，解析几何题的运算涉及的几乎都是数、式、符号等的各种变形和推导，有的题要多步运算和推理才能出结果，其间还要随时判断解题的发展方向，选择运算的途径，分析各种可能的情形，稍不小心就可能出错。所以，培养与提高自己的解析几何运算能力是一项复杂的系统工程，往往要通过反复的实践活动，才可能出现螺旋式上升。所以，大家要多做题多运算，同时也要建立自信，考试时不瞻前顾后，才能保证效率。

    以上就是我突破解析几何的一些心得和技巧，希望大家能够从中找出适合自己的解题之道。我相信，只要付出了足够的努力，就一定能摘取到最甜美的果实。