岳阳市云溪区一中352班 李焕坤

    一、引入：

    圆锥曲线是历年高考考查的必要考点，也是难点。近年来，圆锥曲线知识常常与向量知识结合出题成为高考题的热点。笔者从平时的学习和近几年高考练习题中总结了如下几点体会。

    二、情景介绍：

    对圆锥曲线知识的考查，基本上涉及两大问题，一是求轨迹问题，二是曲线（含直线）与曲线相交的问题，对于第二类问题基本思想都是联立方程，解方程组，然后再用韦达定理来解决，只要解方程，韦达定理的应用必不可少，怎么用韦达定理呢？这才是关键，才是难点，突破这一点，问题基本解决了，下面通过一些典型例题来说明。

    三、典例分析：

    1、弦长问题

    例1：（2012年全国）等轴双曲线C的中心在原点上，焦点在x轴上，C与抛物线y2AB，则C的实轴长为（ ）

    A.  B.2  C.4  D.8

    分析：弦长问题是利用韦达定理的最直接最简单的形式，直接有弦长公式AB=即可，略解:由已知可设双曲线C方程为-=1(a>0)∵抛物线y2=16x ∴准线方程x=-4代入双曲线方程可得y2=16－a2 ∴y=2=4 ∴a=2 答案：C

    变式（2012年北京）：在直角坐标系xoy中，直线L过抛物线y2=4x的焦点F且与该抛物线成相交于A，B 两点，其中点A在x轴上方，若直线L的倾斜角为60°,则△OAF的面积为__________。 答案：

    2、求轨迹方程的问题

    例2：已知抛物线C：y2=4x焦点为F,准线交X轴于A点,过A的斜率为k的直线L与抛物线C交于P,Q两点，求满足=+的点R的轨迹方程。

    分析：直线L与曲线C交于PQ两点，那么我们能用韦达定理得到的P,Q两点的坐标的关系，而目标要求的是R点，因此我们必须要找出R点与P，Q的坐标之间的关系，才能用韦达定理解决问题。

    解：设R(x,y)，Ｐ(x1,y2)，Ｑ（x2，y2)

    由已知F(1,0)

    ∴ =(x-1,y)  =(x1-1,y1)

    =(x2-1,y2) 

    x-1=x1+x2-1

    y=k2x2+(2k2-4)x+k2=0

    Ｑ直线和抛物线有两个交点

    ∴k2≠0

    又x1+x2==-2

    y1+y2=k(x1+x2-2)=

    ∴Ｑ-1<k<1且k≠0，∴x>1

    消去k得y2=3x+12(x>1)

    变式：M是抛物线y2=x上一动点，动弦ME,MF分别交X轴于A,B两点，且MA,若∠EMF=90°求△EMF重心G的轨迹方程。 

    答案：y2=(x-)

    小结：求动点的轨迹方程，关键找出所求动点与已知动点之间的关系，然后利用已知动点的坐标运算（韦达定理），求出目标动点的轨迹方程。

    3、定值问题：

    基本方法将变动元素量于特殊状态下，探求出定值。

    例3：如图过F（1，0）的直线L与抛物线C.y2=4x交于A.B两点，记抛物线C的准线l′,设在直线OA.OB分别交于M.N。求·。

    分析：A、B是直线与抛物线得交点，属于已知动点，而要求的M.N是要求的动点，因此，我们首先应将目标动点M.N与动点A.B联系起来，根据题目要求写出AO,BO方程。

    解：设A(x1，y1), B(x2，y2)

    ∴直线AO的方程为：y=x 直线BO的方程：y=x 

    分别与x=-1联立得M(-1，-),

    N(-1,x)

    ∴ ·=1+

    又设直线L的斜率为k

    当R不存在时,易得A(1,2)B(1，-2),  ∴·=3

    当R存在时,AB的方程为:Y=k(x-1)

    y=k2x2-(2k2+4)x+k2=0

    ∴x1+x2=  xx.x2=1

    ∴yyy2=k2(x1-1)(x2-1)=k2(x1x2-x1-x2+1)

    k2(2-)=-4

    ∴ ·=1+=1-4=3

    总之，在同理圆锥曲线问题时，基本上会用韦达定理。怎么用，关键是将目标点与已知点的坐标联系起来，才能用韦达定理，达到我们的目的。