□ 常思益

【知识范畴】与集合有关的信息迁移问题

例：已知集合 ，其中

，由A中的元素构成两个相应的集合：

，

．

其中 是有序数对，集合 S和T中的元素个数分别为m和 n．

若对于任意的 ，总有 ，则称集合A具有性质 P．

（1）检验集合 与 是否具有性质P,并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合 S和T；

（2）对任何具有性质P的集合A，证明： ；

（3）判断m和n的大小关系，并证明你的结论。

【思路分析】本题是一个与集合有关的信息迁移问题, 其解题思路是：读懂题目，透彻地理解题意, 将其翻译成熟悉的数学语言，从而把所给的陌生的情境转化到已有的知识体系中去，再利用已有的数学知识，将问题顺利解决。

【解析】（1）解：集合 不具有性质P．

集合 具有性质P，其相应的集合S和T是

， ．

（2）证明：首先，由A中元素构成的有序数对 共有k2个。

因为 ，所以 ， ；

又因为当 时, ，所以当 时，

, ．

从而，集合T中元素的个数最多为 ，

即 ．

（3）解：m=n，证明如下：

（1）对于 ，根据定义， ， ，且

，从而 ．

如果（a, b）与（c, d）是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立。

故(a+b，b)与（c+d，d）也是T的不同元素。

可见，S中元素的个数不多于 T中元素的个数，即 .

（2）对于 ，根据定义， ，且 ，从而 .如果 与 （c, d）是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立，

故(a-b，b)与（c-d，d）也是S的不同元素。

可见，T中元素的个数不多于 S中元素的个数，即 ，

由（1）（2）可知，m=n．

【命题立意】本题为近几年高考的一大热点题型——信息题,主要考查学生集合的性质以及知识迁移能力和抽象思维能力, 同时考反证法的灵活运用。在数学高考试题中，主要是用文字语言和符号语言，辅之以图形语言表达、呈现试题内容,要求考生能够根据实际情况进行三种形式的语言间的转换。在与集合有关的内容中，学生学习了大量的符号语言，并强调区分这些符号的意义。因此，高考中通常利用抽象的数学符号考查集合的有关知识, 同时考查对符号语言的阅读、识别和理解及数学语言的转换能力。